một số bài toán về bất đẳng thức - Trường Mở - Cộng Đồng Học Sinh Việt Nam

các bạn hãy xem những ví dụ sau đây nhé {:1_1:}{:1_1:}{:1_1:}

Ví dụ 1. CMRVới a,b∈R và a+b=4thì a4+b4≥32

Nhận xét rằng một biểu thức nhiều biến thường đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhấtkhi tất cả các biến bằng nhau ( tổng quát hơn là trường hợp một số biến bằngnhau) hoặc một số biến có giá trị trên biên. Điều này gợi ý cho ta cách đổibiến như sau

Lời giải
Do a+b=4nên có thể đặt a=2+x,b=2−xvới x∈R
Ta có a4+b4=(2+x)4+(2−x)4=2x4+48x2+32≥32(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=0⇔a=b=2.
Như vậy bằng cách đổi biến thích hợp chúng ta đã đưa bài toán về dạng đơn giảncó thể đánh giá trực tiếp được và BĐT chúng ta sử dụng chỉ là BĐT cơ bản nhất x2≥0,∀x∈R

Tiếp theo chúng ta xem xét một vài ví dụ khác. Qua đó hi vọng các bạn học sinhTHCS sẽ có được một cách nhìn mới với những bài toán BĐT kiểu này.

Ví dụ 2. Cho a,b∈R thỏa mãn a+b≥2.CMR

Lời giải.
Đặt a=1+x,b=1+y.Từ a+b≥2ta có x+y≥0
BĐT cần chứng minh tương đương với

(1+x)3+(1+y)3≤(1+x)4+(1+y)4

⇔x(1+x)3+y(1+y)3≥0

⇔x4+y4+3(x+y)(x2−xy+y2)+3(x2+y2)+x+y≥0
(BĐT này đúng vì x+y≥0)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

.

Ví dụ 3. Cho a,b,c∈R thỏa mãn a+b+c=3.CMR

a2+b2+c2+ab+bc+ca≥6

Lời giải.
Vì a+b+c=3nên có thể đặt a=1+x,b=1+y,c=1−x−yvới x,y∈R
Ta có

a2+b2+c2+ab+bc+ca=(1+x)2+(1+y)2+(1−x−y)2+

+(1−x)(1−y)+(1−y)(1−x−y)+(1−x−y)(1−x)

=x2+xy+y2+6=(x+y2)2+3y24+6≥6

Đó là đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

y=0,x+y2=0⇔a=b=c=1

Ví dụ 4. Cho a,b,c,d∈R thỏa mãn a+b+c+d=1.CMR

(a+c)(b+d)+2ac+2bd≤12

Lời giải.
Vì a+b+c+d=1nên có thể đặt

a=14+x+z,b=14−x+z,c=14+y−z,d=14−y−z

Ta có
VT=(a+c)(b+d)+2ac+2bd
=(12+x+y)(12−x−y)+2(14+x+z)(14+y−z)+2(14−x+z)(14−y−z)

=12−(x−y)2−4z2≤12(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x−y=0,z=0⇔a=c,b=d

Ví dụ 5. Cho a,b,c,d∈R thỏa mãn a+b=c+d.CMR

Lời giải.
Do a+b=c+dnên ta đặt c=a+x,d=b−xvới x∈R
Ta có

c2+d2+cd=(a+x)2+(b−x)2+(a+x)(b−x)=(a−b+x2)2+3x24+3ab≥3ab

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a−b+x2=x=0⇔a=b=c=d

Ví dụ 6. Cho x,y∈R,x<2và x+y>5.CMR

Lời giải.
Vì x<2,x+y>5nên ta đặt x=2−t,x+y=5+u(t,u>0)

5x2+2y2+8y=5(2−t)2+2(3+t+u)2+8(3+t+u)=62+2(t+u)2+5t2+20u>62

Ta có đpcm

Ví dụ 7. Chox,y∈R,x≤1,x+y≥3.Tìm GTNN của F=3x2+y2+3xy
Lời giải.
Đặt x=1−a,x+y=3+bthì y=2+a+b;a,b≥0
Ta có
3x2+y2+3xy=3(1−a)2+(2+a+b)2+3(1−a)(2+a+b)
=a2+b2−5a+7b−ab+13
=(a−b2−52)2+3b24+9b2+274≥274
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

a=52,b=0⇔x=−32,y=92

Ví dụ 8 Cho x,y∈R,x+y=3,x≤1.CMR

y3−x3−6y2−x2+9y≥0

Lời giải.
Đặt x=1−wthì y=2+w(w≥0)

y3−x3−6y2−x2+9y≥0⇔(2+w)3−(1−w)3−6(2+w)2−(1−w)2+9(2+w)≥0

⇔w(w−1)2≥0(đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

w∈${0;1}⇔(x;y)∈{(1;2),(0;3)}

Lời kết. Như vậy với việc đổi biển khéo léo ta có thể đưa việcxét một biểu thức phức tạp về một biểu thức đơn giản hơn,phù hợp với trình độTHCS. Những VD trên là đơn giản (không có VD nào có thể coi là khó!)và nhữnglời giải trên là để minh họa cho kĩ thuật nên có thể chưa phải là Lời giải haynhất,ngắn gọn nhất. Tác giả cho rằng việc đưa ra quá nhiều VD sẽ chỉ nhàm chánvà vô vị ,vì vậy chỉ đưa ra vài VD đơn giản để bạn đọc có thể nắm bắt được ýtưởng nhanh chóng. Khi đã nắm bắt được ý tưởng ,bạn hoàn toàn có thể ''đánhbay'' một lớp các bài toán như vậy và đương nhiên bạn cũng có thể tự tạo ra cácbài toán kiểu này. Dưới đây cũng là những BT đơn giản để các bạn thử nghiệm!

BT áp dụng.
Bài 1. Cho a,b∈R,ab≥1.CMa2+b2≥a+b
Bài 2.Cho x,y∈R,x+y=3,x≤1.CM
a)x3+y3≥9
b)2x4+y4≥18

Bài 3.Cho x,y>0thỏa mãn x+y=1
Tìm GTNN của P=1x2+y2+34xy

Bài 4 Cho a,b∈R,a+b>8,b>3
CMR 27a2+10b3>945