giup em giai he pt nay voi

puppies

Advertisements

Cho hệ phuơng trình:
ax+by=c
bx+cy=a
cx+ay=b
Chứng minh: a^3 + b^3 + c^3 =3abc

penguin

cộng 3 ptrình lại vế theo vế: (a+b+c)(x+y) = a+b+c
* a+b+c = 0
* nếu a+b+c # 0, từ trên ta có: x+y = 1 <=> y = 1-x ; thay vào 2 pt của hệ:
{ (a-b)x = c-b
{ (b-c)x = a-c

+ nếu a=b, từ ptrình đầu => c-b = 0 => b=c
+ nếu b=c , từ ptrình sau => a-c = 0 => a=c
=> a = b = c
+ xét a # b ; b # c từ hệ trên ta có: x = (c-b)/(a-b) = (a-c)/(b-c)
=> (c-b)(b-c) = (a-b)(a-c) <=> -b²-c²+2bc = a²-ab-ac+bc <=> a²+b²+c² = ab+bc+ca
<=> 2a²+2b²+2c² - 2ab-2bc-2ca = 0
<=> (a-b)² + (b-c)² + (c-a)² = 0 <=> a = b = c

Tóm lại hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: a+b+c = 0 hoặc a = b = c
ta có hằng đẳng thức:
a³+b³+c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c² - ab-bc-ca)
từ điều kiện trên => a³+b³+c³ - 3abc = 0 => đpcm
-----------------
có thể chứng minh tường minh như sau:
a³+b³+c³ - 3abc = (a+b)³ - 3ab(a+b) + c³ - 3abc = (a+b)³+c³ -3ab(a+b+c) =
= (a+b+c)[(a+b)² - (a+b)c + c²] - 3ab(a+b+c)²
= (a+b+c)(a²+b²+2ab - ac - bc + c² - 3ab)
= (a+b+c)(a²+b²+c² - ab-bc-ca)

puppies

CẢM ƠN NHEN