Đề thi học sinh giỏi lớp 10 tỉnh Hải Dương năm 2011-2012

pthn15

Advertisements

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không tính thời gian giao đề) -------------------

Câu 1

(2 điểm)

a) Cho hàm số y=x2 +2mx−3m và hàm số y=−2x+3. Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương.
b) Giải bất phương trình:−x2+8x−12−−−−−−−−−−−−√>10−2x

Câu 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình: $(4x^3 - x + 3)^3 - x^3 =1,5$

b)  Giải phương trình: $2x^2 - 11x + 23 = 4\sqrt {x + 1} $

Câu 3 (2 điểm)
a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(1;4). Đường thẳng d qua M,d cắt trục hoành tại A (hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B (tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB.
b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C )x−2)2 +(y+3)2 =9 và điểm A(1;−2). Đường thẳng Δ qua A,Δ cắt (C ) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.

Câu 4 (3điểm)
a) Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi

AB2 +BC2 +CD2 +DA2 =AC2 +BD2

b) Tìm tất cả các tam giác ABC thoả mãn: 1h2a=1b2+1c2 (trong đó AB=c;AC=b; đường cao qua A là ha).

Câu 5 (1 điểm)
     Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

2ab+c+2bc+a+2ca+b≥3+(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2(a+b+c)2

------------